已知函數
，
，
．
（1）若
，試判斷并用定義證明函數
的單調性；
（2）當
時，求證函數存在反函數．
（1）增函數；（2）參考解析
解析試題分析：（1）當時，
，.通過函數的單調性的定義可證得函數，單調遞增.
（2）由，所以將x的區間分為兩類即
和
.所以函數
.由（1）可得函數
是遞增函數.應用單調性的定義同樣可得函數
是遞增.根據反函數的定義可得函數存在反函數.
試題解析：(1)判斷：若，函數在
上是增函數.
證明：當時，，在上是增函數.2分
在區間上任取
，設
，
所以
，即在上是增函數.6分
(2)因為
，所以8分
當時，在
上是增函數，9分
證明：當時，在上是增函數（過程略）11分在在
上也是增函數，當時，
上是增函數12分
所以任意一個，均能找到唯一的
和它對應，
所以
時，存在反函數14分
考點：1.函數的單調性.2.函數單調性的定義.3.反函數的概念.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（2013•重慶）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．
（1）將V表示成r的函數V（r），并求該函數的定義域；
（2）討論函數V（r）的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知定義在R上的函數f(x)對任意實數x、y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x＞0時，f(x)＜0，又f(1)＝－
.
(1)求證：f(x)為奇函數；
(2)求證：f(x)在R上是減函數；
(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值與最小值．
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是偶函數.
的值；
，若函數
與
的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍.
，
.
；
，
，求證：
是實數集
上的奇函數，且
對任意實數
恒成立，求實數
的取值范圍.
，
．
，求證：函數
是
上的奇函數；
上沒有零點，求實數
的取值范圍．
.
的單調區間；
，存在唯一的
，使
；
的函數為
，證明：當
時，有
.
表示的曲線是雙曲線；命題
函數
在區間
上為增函數，若“
”為真命題，“
的取值范圍.
的奇偶性；
和
上的增減性；
滿足：
，試證明：
．