Question

請你設計一個包裝盒，如圖所示，是邊長為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設．
（1）若廣告商要求包裝盒側面積最大，試問應取何值？
（2）若廣告商要求包裝盒容積最大，試問應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．
    

Answer 1

（1）當時，取得最大值；（2）當時取得極大值，也是最大值，此時包裝盒的高與底面邊長的比值為．

解析試題分析：（1）先設包裝盒的高為，底面邊長為，寫出，與的關系式，并注明的取值范圍，再利用側面積公式表示出包裝盒側面積關于的函數解析式，最后求出何時它取得最大值即可；
（2）利用體積公式表示出包裝盒容積關于的函數解析式，利用導數知識求出何時它取得的最大值即可．
設包裝盒的高為，底面邊長為
由已知得
（1）∵        2分
∴當時，取得最大值                  3分
（2）根據題意有    5分
∴。
由得，(舍)或。
∴當時；當時          7分
∴當時取得極大值，也是最大值，此時包裝盒的高與底面邊長的比值為
即包裝盒的高與底面邊長的比值為                      10分．
考點：1．函數的應用問題；2．函數的最值與導數；3．二次函數的圖像與性質．