Question

如圖，已知C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點(diǎn)，DC是∠ACB的平分線交AE于點(diǎn)F，交AB于D點(diǎn)．

(1)求∠ADF的度數(shù)；
(2)AB＝AC，求AC∶BC．

Answer 1

(1) ∠ADF＝45°; (2) AC∶BC＝．

解析試題分析：(1)由弦切角與角平分線，三角形的外角可得∠ADF＝∠AFD，BE為直徑∠DAE＝90°，則可得∠ADF＝45°；(2)由△ACE∽△BCA得，在中可得比值．
解(1)∵AC為圓O的切線，∴∠B＝∠EAC,
又知DC是∠ACB的平分線，∴∠ACD＝∠DCB,
∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD,
即∠ADF＝∠AFD，又因?yàn)锽E為圓O的直徑，
∴∠DAE＝90°，∴∠ADF＝ (180°－∠DAE)＝45°．         5分
(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，又∵AB＝AC，∠ADF＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴在中，＝tan∠B＝tan 30°＝．        10分
考點(diǎn)：弦切角，三角形的相似的性質(zhì)與判定．