Question

已知函數，.
(Ⅰ)若，求函數在區間上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范圍. 注：是自然對數的底數.

Answer 1

(Ⅰ)最小值，最大值；(Ⅱ) .

試題分析：(Ⅰ)將代入，得到.由于要去絕對值，所以將區間分為與兩段，分別得到解析式，從而得到導函數在上大于0，在上小于0.即函數在區間上單調遞減，在上單調遞增.在根據單調性即可求出最值；(Ⅱ) 函數的定義域為,得,再分與兩種情況討論.其中時，為去絕對值，再分與兩種情況予以討論.再綜合各種情況得到滿足條件的的取值范圍是.
試題解析：(Ⅰ) 若，則.
當時，，
，
所以函數在上單調遞增；
當時，，
.
所以函數在區間上單調遞減，
所以在區間上有最小值，又因為，
，而，
所以在區間上有最大值             .5分
(Ⅱ) 函數的定義域為．
由，得．           （*）
（ⅰ）當時，，，
不等式（*）恒成立，所以；               .7分
（ⅱ）當時，
①當時，由得，即，
現令， 則，
因為，所以，故在上單調遞增，
從而的最小值為，因為恒成立等價于，
所以；                   .11
②當時，的最小值為，而，顯然不滿足題意   .13分
綜上可得，滿足條件的的取值范圍是.              14分