Question

（2009•河東區二模）已知sin(α+

π

4

)=

4

5

，

π

4

＜α＜

3π

4

，則cos2α的值是（　　）

• A．

  24

  25

• B．

  7

  25

• C．-

  24

  25

• D．-

  7

  25

Answer 1

分析：已知等式利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，求出sinα+cosα的值，兩邊平方并利用同角三角函數間的基本關系化簡求出sinαcosα的值，利用完全平方公式求出（sinα-cosα）²的值，根據α的范圍判斷出sinα-cosα的正負，開方求出sinα-cosα的值，所求式子利用二倍角的余弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：∵sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=

4

5

，
∴sinα+cosα=

4 2

5

，
兩邊平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

32

25

，即2sinαcosα=

7

25

，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

18

25

，
∵

π

4

＜α＜

3π

4

，∴sinα＞cosα，即sinα-cosα＞0，
∴sinα-cosα=

3 2

5

，
則cos2α=cos²α-sin²α=-（sinα+cosα）（sinα-cosα）=-

24

25

．
故選C

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．