Question

已知函數.
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）若函數在區間上為減函數，求實數的取值范圍；
（3）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）增區間，減區間；（2）；（3）.

試題分析：（1）將代入函數解析式，直接利用導數求出函數的單調遞增區間和遞減區間；（2）將條件“在區間上為減函數”等價轉化為“不等式在區間上恒成立”，結合參數分離法進行求解；（3）構造新函數，將“不等式在區間上恒成立”等價轉化為“”，利用導數結合函數單調性圍繞進行求解，從而求出實數的取值范圍.
試題解析：（1）當時，，
，
解得；解得，
故的單調遞增區間是，單調遞減區間是；
（2）因為函數在區間上為減函數，
所以對恒成立，
即對恒成立，；
（3）因為當時，不等式恒成立，
即恒成立，設，
只需即可
由，
①當時，，
當時，，函數在上單調遞減，故成立；
②當時，令，因為，所以解得，
（i）當，即時，在區間上，
則函數在上單調遞增，故在上無最大值，不合題設；
（ii）當時，即時，在區間上；在區間上．
函數在上單調遞減，在區間單調遞增，同樣在無最大值，不滿足條件；
③當時，由，故，，
故函數在上單調遞減，故成立
綜上所述，實數的取值范圍是.