Question

已知函數f(x)＝，x∈(1，＋∞)．
(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)函數f(x)在區間[2，＋∞)上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）a≤1時，f(x)的減區間為(1，＋∞)；a>1時，f(x)的增區間為(1,2a－1)，f(x)的減區間為(2a－1，＋∞)．（2）當a≥2時，f(x)有最小值2－a；當a<2時，f(x)沒有最小值．

(1)f′(x)＝，x∈(1，＋∞)．
由f′(x)＝0，得x₁＝1，或x₂＝2a－1.
①當2a－1≤1，即a≤1時，在(1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)單調遞減；
②當2a－1>1，即a>1時，在(1,2a－1)上，f′(x)>0，f(x)單調遞增，在(2a－1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)單調遞減．
綜上所述，a≤1時，f(x)的減區間為(1，＋∞)；a>1時，f(x)的增區間為(1,2a－1)，f(x)的減區間為(2a－1，＋∞)．
(2)①當a≤1時，由(1)知f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，不存在最小值；
②當a>1時，若2a－1≤2，即a≤時，f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，不存在最小值；
若2a－1>2，即a> 時，f(x)在[2,2a－1)上單調遞增，在(2a－1，＋∞)上單調遞減，因為f(2a－1)＝>0，且當x>2a－1時，x－a>a－1>0，所以當x≥2a－1時，f(x)>0.又因為f(2)＝2－a，所以當2－a≤0，即a≥2時，f(x)有最小值2－a；當2－a>0，即<a<2時，f(x)沒有最小值．
綜上所述：當a≥2時，f(x)有最小值2－a；當a<2時，f(x)沒有最小值．