Question

已知函數f(x)＝ax³－x²＋cx＋d(a，c，d∈R)滿足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．
(1)求a，c，d的值；
(2)若h(x)＝x²－bx＋－，解不等式f′(x)＋h(x)<0.

Answer 1

（1）a＝，c＝ d＝0（2）當b>時，解集為，當b<時，解集為，當b＝時，解集為∅

(1)∵f(0)＝0，∴d＝0，∵f′(x)＝ax²－x＋c.又f′(1)＝0，∴a＋c＝.∵f′(x)≥0在R上恒成立，即ax²－x＋c≥0恒成立，∴ax²－x＋－a≥0恒成立，顯然當a＝0時，上式不恒成立．∴a≠0，
∴ 
即解得a＝，c＝.
(2)由(1)知f′(x)＝x²－x＋.
由f′(x)＋h(x)<0，得x²－x＋＋x²－bx＋－<0，即x²－x＋<0，
即(x－b) <0，當b>時，解集為，
當b<時，解集為，當b＝時，解集為∅