Question

已知函數.
（1）當時,求函數的單調區間;
（2）若函數有兩個極值點,且,求證:;
（Ⅲ）設,對于任意時,總存在,使成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）的遞增區間為和,遞減區間為；（2）詳見解析；（Ⅲ）實數的取值范圍為．

試題分析：（1）當時,求函數的單調區間，由于函數含有對數函數，可通過求導來確定單調區間，由函數，對求導得，，令，，解不等式得函數的單調區間；（2）若函數有兩個極值點,且,求證:，由于有兩個極值點,則有兩個不等的實根，由根與系數關系可得，，用表示，代入，利用即可證明；（Ⅲ）對于任意時,總存在,使成立，即恒成立，因此求出，這樣問題轉化為，在上恒成立，構造函數，分類討論可求出實數的取值范圍．
試題解析：
（1）當時,,
令或,,
的遞增區間為和,遞減區間為.
（2）由于有兩個極值點,則有兩個不等的實根,


設
,在上遞減,
,即.
（Ⅲ）,

,,在遞增,
,
在上恒成立
令,
則在上恒成立
,又
當時，,在(2,4)遞減,,不合;
當時,,
①時,在(2,)遞減,存在,不合;
②時, 在(2,4)遞增,,滿足.
綜上, 實數的取值范圍為.