已知函數
.
（1）當
時，討論函數
的單調性；
（2）當
時，在函數
圖象上取不同兩點A、B，設線段AB的中點為
，試探究函數在Q
點處的切線與直線AB的位置關系？
（3）試判斷當
時圖象是否存在不同的兩點A、B具有（2）問中所得出的結論.
（1）
時，函數在
上單調遞增；當
，函數在
和
上單調遞增；在
上單調遞減；（2）所以函數Q點處的切線與直線AB平行；
（3）圖象不存在不同的兩點A、B具有（2）問中所得出的結論.
解析試題分析：（1）求導即可知其單調性；（2）利用導數求出函數
在點Q處的切線的斜率，再求出直線AB的斜率，可看出它們是相等的，所以函數在Q點處的切線與直線AB平行；
（3）設
，若滿足（2）中結論，則有
，化簡得
（*）.如果這個等式能夠成立，則存在，如果這個等式不能成立，則不存在.設
，則*式整理得
，問題轉化成該方程在
上是否有解.再設函數
，下面通過導數即可知方程在上是否有解，從而可確定函數是否滿足（2）中結論.
（1）由題知
，
當
即時，
，函數在定義域上單調遞增；
當，由
解得
，函數在和上單調遞增；在上單調遞減； 4分
（2），
，
所以函數Q點處的切線與直線AB平行； .7分
（3）設，若滿足（2）中結論，有
，即
即
（*） .9分
設，則*式整理得，問題轉化成該方程在上是否有解； 11分
設函數，則
，所以函數
在單調遞增，即
，即方程在上無解，即函數不滿足（2）中結論 14分
考點：導數的應用.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝ax－ln x，g(x)＝
，它們的定義域都是(0，e]，其中e是自然對數的底e≈2.7，a∈R.
(1)當a＝1時，求函數f(x)的最小值；
(2)當a＝1時，求證：f(m)>g(n)＋
對一切m，n∈(0，e]恒成立；
(3)是否存在實數a，使得f(x)的最小值是3？如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
．
(1)當a=1時，求曲線
在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)當a>0時，若f(x)在區間[1，e]上的最小值為-2，求a的值；
(3)若對任意
，且
恒成立，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝(x－a)(x－b)2，a，b是常數．
(1)若a≠b，求證：函數f(x)存在極大值和極小值；
(2)設(1)中f(x)取得極大值、極小值時自變量的值分別為x1，x2，設點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))．如果直線AB的斜率為－
，求函數f(x)和f′(x)的公共遞減區間的長度；
(3)若f(x)≥mxf′(x)對于一切x∈R恒成立，求實數m，a，b滿足的條件．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（14分）（2011•天津）已知函數f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）當t=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當t≠0時，求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）證明：對任意的t∈（0，+∞），f（x）在區間（0，1）內均存在零點．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
.
（1）求
在區間
上的最大值；
（2）若過點
存在3條直線與曲線
相切，求t的取值范圍；
（3）問過點
分別存在幾條直線與曲線相切？（只需寫出結論）
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，且
．
的值；
的單調區間；
，若函數
在
上單調遞增，求實數
的取值范圍．