Question

(1)設x≥1，y≥1，證明x＋y＋≤＋＋xy；

(2)1＜a≤b≤c，證明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】(1)由于x≥1，y≥1，

要證x＋y＋≤＋＋xy，

只需證xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.

因為[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]

＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]

＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)

＝(xy－1)(xy－x－y＋1)

＝(xy－1)(x－1)(y－1)．

由條件x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，

從而所要證明的不等式成立．

(2)設logab＝x，logbc＝y，由對數的換底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.

于是，所要證明的不等式即為x＋y＋≤＋＋xy.

其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.

故由(1)可知所要證明的不等式成立．