Question

已知函數（ 是自然對數的底數）的最小值為．
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）已知且，試解關于的不等式 ；
（Ⅲ）已知且.若存在實數，使得對任意的，都有，試求的最大值．

Answer 1

（1）
（2）當時，不等式的解為；當時，不等式的解為
（3）3

試題分析：解：（Ⅰ）因為，所以，故，
因為函數的最小值為，所以．              3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.
當時，， 5分
故不等式可化為：，
即，           6分
得，
所以，當時，不等式的解為；
當時，不等式的解為．          8分
（Ⅲ）∵當且時，，
∴.
∴原命題等價轉化為:存在實數，使得不等式對任意恒成立.        10分
令.
∵，∴函數在為減函數.       11分
又∵，∴.          12分
∴要使得對，值恒存在，只須．     13分
∵，
且函數在為減函數，
∴滿足條件的最大整數的值為3．   14分
點評：主要是考查了函數與不等式的綜合運用，以及導數研究函數單調性的求解屬于中檔題。