Question

設x軸、y軸正方向上的單位向量分別是、，坐標平面上點A_n、B_n（n∈N^*）分別滿足下列兩個條件：
①且=+；②且=．
（1）求及的坐標；
（2）若四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積是a_n，求a_n（n∈N^*）的表達式；
（3）對于（2）中的a_n，是否存在最小的自然數M，對一切（n∈N^*）都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量加法的三角形法則的推廣，及已知條件①且=+；②且
=．得到及的坐標；
（2）設A_nA_n+1的所在的直線交x軸于點p，結合圖形表示出四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積是a_n，
（3）求出，推廣對n的討論得到a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0．a₄-a₅=0，a₅-a₆0，
a₆-a₇＞0，求出數列中最大值為，求出M．
解答：解：（1）=．==．
（2）設A_nA_n+1的所在的直線交x軸于點p，則有

=．
（3）=．
∴a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0．a₄-a₅=0，a₅-a₆＞0，a₆-a₇＞0，等等．
即在數列{a_n}中，是數列的最大項，所以存在最小的自然數M=6，對一切n∈N^*，都有a_n＜M成立．
點評：本題考查解決數列的問題關鍵是求出數列的通項，根據通項的特點，選擇合適的方法來解決，在高考題中數列出現在解答題中，屬于難題．