Question

(經典回放)(1)設{a_n}是集合{2^t＋2^s|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的數從小到大排列成的數列，即a₁＝3，a₂＝5，a₃＝6，a₄＝9，a₅＝10，a₆＝12，…．

(1)將數列{a_n}各項按照上小下大、左小右大的原則寫成如下的三角數表：

①寫出這個三角形數表的第四行、第五行各數；

②求a₁₀₀．

(2)設{b_n}是集合{2^t＋2^s＋2^r|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的數從小到大排列成的數列，已知b_k＝1160，求k．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①解：第四行為：17，18，20，24， 　　第五行為：33，34，36，40，48． 　�、诮夥ㄒ唬涸Oa100＝2t0＋2s0．只需確定正整數t0，s0． 　　數列{an}中小于2t0的項構成的子集為{2t＋2s|0≤s＜t＜t0}， 　　其元素個數為．依題意． 　　滿足上式的最大整數t0為14，所以取t0＝14． 　　因為100－＝s0＋1，由此解得s0＝8． 　　∴a100＝214＋28＝16640． 　　解法二：n為an的下標，三角形數表第一行第一個元素下標為1， 　　第二行第一個元素下標為， 　　第三行第一個元素下標為， 　　…… 　　第t行第一個元素下標為，第t行第s個元素下標為，該元素等于2t＋2t－1． 　　據此判斷a100所在的行，因為，所以a100是三角形數表第14行的第9個元素．∴a100＝214＋29－1＝16640． 　　(2)解：bk＝1160＝210＋27＋23． 　　令M＝{c∈B|c＜1160}(其中B＝{2t＋2s＋2r|0≤r＜s＜t})， 　　因M＝{c∈B|c＜210}∪{c∈B|210＜c＜210＋27}∪{c∈B|210＋27＜c＜210＋27＋23}． 　　現在求M的元素個數：{c∈B|c＜210}＝{2t＋2s＋2r|0≤r＜s＜t＜10}，其元素個數為； 　　{c∈B|210＜c＜210＋27}＝{210＋2s＋2r|0≤r＜s＜7}，其元素個數為； 　　{c∈B|210＋27＜c＜210＋27＋23}＝{210＋27＋2r|0≤r＜3}； 　　其元素個數為． 　　∴k＝＋＋＋1＝145．