Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n＋n＝2a_n(n∈N^*)．
(1)證明：數列{a_n＋1}為等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
(2)若b_n＝(2n＋1)a_n＋2n＋1，數列{b_n}的前n項和為T_n.求滿足不等式>2 010的n的最小值．

Answer 1

（1）a_n＝2ⁿ－1.（2）10

試題分析：（1）由將前n項和化為通項公式關系式，利用等比數列定義證明；（2）有一個等差數列與一個等比數列對應項的積構成的新數列的和，通常將和式兩邊乘公比，再兩式相減，得新等比數列，此法稱錯位相消法.
試題解析：(1)因為S_n＋n＝2a_n，所以S_n－1＝2a_n－1－(n－1)(n≥2，n∈N^*)．兩式相減，得a_n＝2a_n－1＋1.
所以a_n＋1＝2(a_n－1＋1)(n≥2，n∈N^*)，所以數列{a_n＋1}為等比數列．
因為S_n＋n＝2a_n，令n＝1得a₁＝1.a₁＋1＝2，所以a_n＋1＝2ⁿ，所以a_n＝2ⁿ－1.
(2)因為b_n＝(2n＋1)a_n＋2n＋1，所以b_n＝(2n＋1)·2ⁿ.
所以T_n＝3×2＋5×2²＋7×2³＋…＋(2n－1)·2^n－1＋(2n＋1)·2ⁿ，  ①
2T_n＝3×2²＋5×2³＋…＋(2n－1)·2ⁿ＋(2n＋1)·2^n＋1，    ②
①－②，得－T_n＝3×2＋2(2²＋2³＋…＋2ⁿ)－(2n＋1)·2^n＋1
＝6＋2×－(2n＋1)·2^n＋1＝－2＋2^n＋2－(2n＋1)·2^n＋1＝－2－(2n－1)·2^n＋1.
所以T_n＝2＋(2n－1)·2^n＋1.
若>2 010，則>2 010，即2^n＋1>2 010.
由于2¹⁰＝1 024,2¹¹＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.
所以滿足不等式>2 010的n的最小值是10.