Question

下列說法中：
①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數，則實數b=2；
②f（x）表示-2x+2與-2x²+4x+2中的較小者，則函數f（x）的最大值為1；
③若函數f（x）=|2x+a|的單調遞增區間是[3，+∞），則a=-6；
④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），則f（x）是奇函數．
其中正確說法的序號是

①③④

（注：把你認為是正確的序號都填上）．

Answer 1

分析：①f（x）是偶函數，應滿足定義域關于原點對稱，且一次項系數為0；
②f（x）表示-2x+2與-2x²+4x+2中的較小者，可用分段函數表示f（x），再求f（x）的最大值；
③f（x）的單調遞增區間是[3，+∞），即x≥3時，2x+a≥0，得出a的取值；
④由題意，可求出f（1）=f（-1）=0，f（-x）與f（x）的關系，從而判定f（x）的奇偶性．

解答：解：①∵f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數，∴有

(2a-1)+(a+4)=0 2a+b=0

，∴a=-1，b=2，命題正確；
②∵f（x）表示-2x+2與-2x²+4x+2中的較小者，∴f（x）=

-2x+2   (0≤x≤3) -2x2+4x+2(x＜0或x＞3)

，∴f（x）的最大值為2，原命題錯誤；
③∵f（x）=|2x+a|的單調遞增區間是[3，+∞），∴當x≥3時，2x+a≥0，∴a≥-6，故取a=-6，命題正確；
④∵f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），
∴當x=y=1時，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；
當x=y=-1時，f（1）=-f（-1）-f（-1），∴f（-1）=0；
當y=-1時，f（-x）=x•f（-1）+[-f（x）]，即f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數，命題正確．
所以，命題正確的序號是①③④

點評：本題綜合考查了函數的單調性、奇偶性，熟練掌握其性質是解題的關鍵．