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三棱錐P－ABC中，AP＝AC,PB＝2，將此三棱錐沿三條側棱剪開其展開圖是一個直角梯形(如圖)．(1)求證：側棱PB⊥AC；(2)求側面PAC與底面ABC所成的角θ的余弦．

答案：
解析：

分析:(1)折疊與展開是互逆過程，將直角梯形折成三棱錐時，⊥，⊥的關系不變，于是在三棱錐中有PB⊥AP，PB⊥CP，故PB⊥平面PAC，從而PB⊥AC；

(2)作PD⊥AC，則由三垂線定理知BD⊥AC，于是∠PDB是二面角P－AC－B的平面角，即∠PDB＝θ，再作AE⊥于E，則AE＝4且E是的中點，設＝＝AC＝x，CE＝＝y，在Rt△ACE中，則有，且由得2(x－y)＝x＋y．解得x＝3，y＝．由·AC＝·AE，得PD＝＝＝，由PB＝2，PD＝，BD＝，由余弦定理求得cosθ＝．


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源：訓練必修二數學人教A版 人教A版 題型：047

如圖，在三棱錐P－ABC中，點O、D分別是AC、PC的中點，

求證：OD∥平面PAB．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年四川省成都市高三9月月考理科數學試題（解析版） 題型：解答題

本小題滿分12分）

已知三棱錐P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，

N為AB上一點，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點．

(I)證明：CM⊥SN；(II)求SN與平面CMN所成角的大小．

 

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科目：高中數學 來源：新課標高三數學直線、平面、簡單幾何體專項訓練（河北） 題型：解答題

如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M為AB的中點，四點P、A、M、C都在球O的球面上．

(1)證明：平面PAB⊥平面PCM；

(2)證明：線段PC的中點為球O的球心

 

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科目：高中數學 來源：2010年普通高等學校招生全國統一考試（遼寧卷）理科數學 題型：解答題

已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.

（Ⅰ）證明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數學 來源：2010年廣東省山一高二上學期第二次月考理科數學卷 題型：解答題

（14分）

已知三棱錐P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.

（Ⅰ）證明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小。

 

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