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設曲線：上的點到點的距離的最小值為,若,,
（1）求數列的通項公式；
（2）求證:；
（3）是否存在常數,使得對,都有不等式:成立?請說明理由.

（1） （2）先證，累加即得證.（3）存在常數,對,都有不等式:成立.（M取值不唯一）

解析試題分析：（1）設點,則,∴,
∵, ∴ 當時,取得最小值,且,
又,∴,即， 將代入得
兩邊平方，得,又,，
∴數列是首項為,公差為的等差數列, ∴,
∵ ,∴
（2）∵,∴
∴,∴ ∴，
∴
將以上個不等式相加，得.
（Ⅲ）由（1）得,當時, ,
∵,
∴，
∴,
∴
∴.
∴存在常數,對,都有不等式:成立.（M取值不唯一）
考點：數列與不等式的綜合；等差數列的通項公式；數列與函數的綜合．
點評：本題考查數列的通項，考查數列與不等式的綜合，考查放縮法的運用，解題的關鍵是根據目標，適當放縮，難度較大．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設數列滿足，其中為實數，且，
（1）求證：時數列是等比數列，并求；
（2）設，求數列的前項和；
（3）設，記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列中，，前項的和為，對任意的，，，總成等差數列.
（1）求的值并猜想數列的通項公式
（2）證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列 的前項和為，設，且.
(1)證明{}是等比數列；
(2)求與.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列的首項為，對任意的，定義.
（Ⅰ） 若，
(i)求的值和數列的通項公式；
(ii)求數列的前項和；
（Ⅱ）若，且，求數列的前項的和.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列中，且點在直線上。
(1)求數列的通項公式;
(2)求函數的最小值；
(3)設表示數列的前項和。試問：是否存在關于的整式，使得
對于一切不小于2的自然數恒成立？若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）
已知數列為公差不為的等差數列，為前項和，和的等差中項為，且．令數列的前項和為．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）是否存在正整數成等比數列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
在數列中，已知.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）求證：數列是等差數列；
（Ⅲ)設數列滿足，求的前n項和.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）設數列的前項和為.已知，，.
（1）寫出的值，并求數列的通項公式；
（2）記為數列的前項和，求；
（3）若數列滿足，，求數列的通項公式.

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