Question

已知函數f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)設a>0，證明：當0<x<時，f>f；

(3)若函數y＝f(x)的圖象與x軸交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：＜0.

 

Answer 1

（1）在上單調遞增，在上是減函數（2）見解析（3）見解析

【解析】(1)【解析】
f(x)的定義域為(0，＋∞),

f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.

①若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數．

②若a>0，則由f′(x)＝0得x＝，且當x∈時，f′(x)>0，當x>時，f′(x)<0.所以f(x)在上單調遞增，在上是減函數.

(2)【解析】
設函數g(x)＝f－f，

則g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，

g′(x)＝－2a＝.

當0<x<時，g′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0.

故當0<x<時，f>f.

(3)證明：由(1)可得，當a≤0時，函數y＝f(x)的圖象與x軸至多有一個交點，

故a>0，從而f(x)的最大值為f，且f>0.

不妨設A(x1，0)，B(x2，0)，0<x1<x2，則0<x1<<x2.

由(2)得f＝f>f(x1)＝0.

從而x2>－x1，于是x0＝>.由(1)知，f′(x0)<0