Question

已知函數f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a為實常數)．

(1)若a＝1，作函數f(x)的圖象；

(2)設f(x)在區間[1，2]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達式；

(3)設h(x)＝，若函數h(x)在區間[1，2]上是增函數，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）

（2）g(a)＝（3）

【解析】(1)當a＝1時，f(x)＝x2－|x|＋1＝作圖如下．

(2)當x∈[1，2]時，f(x)＝ax2－x＋2a－1.

若a＝0，則f(x)＝－x－1在區間[1，2]上是減函數，g(a)＝f(2)＝－3.

若a≠0，則f(x)＝a＋2a－－1，f(x)圖象的對稱軸是直線x＝.

當a<0時，f(x)在區間[1，2]上是減函數，g(a)＝f(2)＝6a－3.

當0<<1，即a>時，f(x)在區間[1，2]上是增函數，g(a)＝f(1)＝3a－2.

當1≤≤2，即≤a≤時，g(a)＝f＝2a－－1.

當>2，即0<a<時，f(x)在區間[1，2]上是減函數，g(a)＝f(2)＝6a－3.

綜上可得g(a)＝

(3)當x∈[1，2]時，h(x)＝ax＋－1，在區間[1，2]上任取x1、x2，且x1<x2，

則h(x2)－h(x1)＝

＝(x2－x1)＝(x2－x1).

因為h(x)在區間[1，2]上是增函數，所以h(x2)－h(x1)>0.

因為x2－x1>0，x1x2>0，所以ax1x2－(2a－1)>0，

即ax1x2>2a－1.

當a＝0時，上面的不等式變為0>－1，即a＝0時結論成立．

當a>0時，x1x2>，由1<x1x2<4，得≤1，解得0＜a≤1.

當a<0時，x1x2<，由1<x1x2<4，得≥4，解得－≤a＜0.

所以實數a的取值范圍為