Question

（本題滿分為12分）

已知函數的圖像過坐標原點，且在點處的切線的斜率是．

（1）求實數的值；

（2）求在區間上的最大值；

（3）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊的中點在軸上？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）當，即時，在上的最大值為2；當，即時，在上的最大值為 ．（3）存在。

【解析】

試題分析：解：

（I）當時，則． （1分）

依題意，得 即，解得．    （3分）

（II）由（1）知，

①當時

令得或                                     （4分）

當變化時的變化情況如下表：

		0			（）
	-	0	+	0	-
	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

 

又

所以在上的最大值為．                                   （6分）

②當時，

當時，，所以的最大值為0 ；

當時，在上單調遞增，所以在上的最大值為．（7分）

綜上所述，

當，即時，在上的最大值為2；

當，即時，在上的最大值為 ．     （8分） 

（III）假設曲線上存在兩點滿足題設要求，則點只能在y軸的兩側．

不妨設，則，顯然

因為是以為直角頂點的直角三角形，

所以，即    ①

若方程①有解，則存在滿足題意的兩點；若方程①無解，則不存在滿足題意的兩點

若，則，代入①式得，

即，而此方程無實數解，因此．                        （10分） 

此時，代入①式得,即   ②

令，則，所以在上單調遞增，

因為，所以，當時，，所以的取值范圍為．所以對于，方程②總有解，即方程①總有解．

因此對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊的中點在y軸上．                （12分） 

考點：導數的運算；函數的最值與導數的關系。

點評：在新課標中，導數是重要的知識點，由于它對求函數的單調性、最值由很大的幫助，因而成為考試的熱點。