Question

下列說法正確的是（　　）

• A．存在α∈(0，

  π

  2

  ）使sinα+cosα=

  1

  3

• B．y=tanx在R內為增函數
• C．y=cos2x+sin（

  π

  2

  -x）是偶函數
• D．y=sin|2x+

  π

  6

  |最小正周期為π

Answer 1

分析：選項A，可得

2

sin（α+

π

4

）∈（1，

2

]，而

1

3

∉（1，

2

]，故不可能存在α∈(0，

π

2

）使sinα+cosα=

1

3

；選項B，y=tanx在R內沒有單調性；選項C，由誘導公式化簡后可證原函數是偶函數；選項D，函數y=sin|2x+

π

6

|的圖象可由y=sin|2x|的圖象向左平移

π

12

個單位得到，沒有周期性．

解答：解：選項A，sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），當α∈（0，

π

2

）時，α+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
故可得sin（α+

π

4

）∈（

2

2

，1]，所以

2

sin（α+

π

4

）∈（1，

2

]，而

1

3

∉（1，

2

]，
故不可能存在α∈(0，

π

2

）使sinα+cosα=

1

3

，故A錯誤；
選項B，y=tanx在（kπ-

π

2

，kπ+

π

2

），k∈Z內單調遞增，但在R內沒有單調性，故B錯誤；
選項C，記y=f（x）=cos2x+sin（

π

2

-x）=cos2x+cosx，可得f（-x）=cos2（-x）+cos（-x）=f（x）
故可得原函數是偶函數，故C正確；
選項D，函數y=sin|2x+

π

6

|的圖象可由y=sin|2x|的圖象向左平移

π

12

個單位得到，
而函數y=sin|2x|為偶函數，其圖象關于y軸對稱，沒有周期性，故函數y=sin|2x+

π

6

|沒有周期性，故D錯誤．
故選C

點評：本題考查命題真假的判斷與應用，涉及三角函數的知識，屬基礎題．