Question

（08年楊浦區測試）設拋物線的焦點為，經過點的直線交拋物線于、兩點，且、兩點坐標分別為，是拋物線的準線上的一點，是坐標原點．若直線、、的斜率分別記為：、、，（如圖）

   （1）若，求拋物線的方程．

   （2）當時，求的值．

   （3）如果取， 時，

（文科考生做）判定和的值大小關系．并說明理由．

   （理科考生做）判定和的值大小關系．并說明理由．

通過你對以上問題的研究，請概括出在怎樣的更一般的條件下，使得你研究的結果（即和的值大小關系）不變，并證明你的結論．

 

 

Answer 1

解析：（1）設過拋物線的焦點的直線方程為 

或（斜率不存在）              ……………………1分

則      得     …………2分

當（斜率不存在）時，則

又   ……………………4分

所求拋物線方程為                         

（2）[解] 設 

由已知直線、、的斜率分別記為：、、，得

   且     …………6分 

故

當時    4                ………………10分

（文科） [解]（3）和的值相等  …………12分

如果取， 時， 則由（2）問得

  即   ， 又由（2）問得

設

1）若軸，則   ……………………13分

 

2）若＞0  則  

同理可得

而                                   

則  ，易知都是銳角

        …………………………16分

3）若＜0，類似的也可證明.

綜上所述    即和的值相等  …………18分

（理科） [解]（3）和的值相等   …………10分

如果取， 時， 則由（2）問得

  即   ， 又由（2）問得

設

1）若軸，則   ………………11分

2）若＞0  則  

同理可得

而   

即，易知都是銳角

           …………………………12分

3）若＜0，類似的也可證明.

綜上所述    即和的值相等  …………13分

[解一]（3）概括出的條件：（即 ）或，等

                                           …………………………14分

  即   ， 又由（2）問得

設

1）若軸，則  ………………15分

2）若＞0  則  

同理可得

而 ，則；易知

都是銳角

      …………………………17分

3）若＜0，類似的也可證明.

綜上所述    即和的值相等 ……18分

[解二] （略）（其它證法可參考上述評分標準給分）