Question

已知關于坐標軸對稱的橢圓經過兩點A（0，2）和B；
（1）求橢圓的標準方程
（2）若點P是橢圓上的一點，F₁和F₂是焦點，且∠F₁PF₂=30°，求△F₁PF₂的面積、

Answer 1

解：（1）設經過兩點A（0，2），B的橢圓標準方程為
mx²+ny²=1，代入A、B得?，
∴所求橢圓方程為、（5分）
（2）在橢圓中，a=2，b=1、∴c==
又∵點P在橢圓上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4、①（6分）
由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=12 ②（8分）
把①兩邊平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=16，③
③-②得（2+）|PF₁|•|PF₂|=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=4（2-），（10分）
∴=|PF₁|•|PF₂|sin30°=2-、（12分）
分析：（1）設經過A（0，2），B的橢圓標準方程為mx²+ny²=1，代入A、B得，由此能求出橢圓方程．
（2）在橢圓中，a=2，b=1，c==，由點P在橢圓上，知|PF₁|+|PF₂|=2a=4．由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=1，由此得（2+）|PF₁|•|PF₂|=4，從而得到=|PF₁|•|PF₂|sin30°=2-．
點評：本題考查橢圓和直線的位置關系，解題時要認真審題，仔細求解，注意公式的靈活選用．