Question

（本小題滿分15分）已知函數
（1）若函數在上為增函數，求實數的取值范圍；
（2）當時，求在上的最大值和最小值；
（3）當時，求證對任意大于1的正整數，恒成立.

Answer 1

（1）；（2）
（3）

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用
（1）因為函數在給定區間x>1上單調遞增，則說明導函數恒大于等于零，然后分離參數求解取值范圍。
（2）把a=1,代入關系式中，求解導數，研究單調性，進而得到極值和端點值的函數值，然后比較大小得到最值。
（3）由（1）可知f(x)>f(1)恒成立，那么可知不等式關系式，然后結合放縮法得到結論。
解：（1）由已知得，
依題意得對任意恒成立，
即對任意恒成立，
而
（2）當時，，令，得，
若時，，若時，，
故是函數在區間上的唯一的極小值，也是最小值，即，
而，
由于，則
（3）當時，由（1）知在上為增函數
當，令，則，所以
即
所以
各式相加得