Question

已知定點與分別在軸、軸上的動點滿足：,動點滿足．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設過點任作一直線與點的軌跡交于兩點，直線與直線分別交于點（為坐標原點）；
（i）試判斷直線與以為直徑的圓的位置關系；
（ii）探究是否為定值？并證明你的結論.

Answer 1

（1）；（2）（i）相切；（ii）為定值，且定值為0.證明過程見解析.

解析試題分析：（1）假設P點坐標，由，，經向量的坐標運算，易得P的軌跡方程. （2）（i）A，B，兩點到準線的距離與到焦點距離相等，又是方程的準線，結合圖形，易得直線與圓相切. （ii）假設過F點的直線方程AB為 與拋物線方程聯立，求得A，B兩點坐標.寫出OA，OB所在直線方程，求出與的交點坐標，轉化為向量的坐標運算，可知=0
試題解析：
解：（1）設動點的坐標為,則     1分
又，由得   2分
即亦即         3分
代入即得：動點的軌跡的方程為：    4分
（2）由（1）知動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線,設直線的方程為；點的坐標分別為.
(i)設兩點到準線的距離分別為,則,
設的中點到準線的距離為，          5分
則     7分
直線與以為直徑的圓相切.                8分
（注：直接運算得到正確結果同樣給分）
(ii)由得，          10分
的方程為，即由得點的坐標為，
同理可得點的坐標為，                     11分

于是          12分
因此為定值，且定值為0.                    13分
考點：拋物線的幾何性質,直線與拋物線的關系，向量的坐標運算.