Question

如圖，四棱柱中，平面．

（Ⅰ）從下列①②③三個條件中選擇一個做為的充分條件，并給予證明；

①，②；③是平行四邊形．

（Ⅱ）設四棱柱的所有棱長都為1，且為銳角，求平面與平面所成銳二面角的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由平面和可以得到平面，從而可以得到，結合作已知條件，可以證明平面，進而可以得到；

（Ⅱ）建立空間直角坐標系，將題中涉及的關鍵點用參數表示出來，并將問題中涉及的二面角的余弦值利用參數表示出來，結合函數的方法確定二面角的余弦值的取值范圍，進而確定二面角的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）條件②，可做為的充分條件.      1分

證明如下：

平面，，平面，    2分

∵平面，.

若條件②成立，即，∵，平面，     3分

又平面，．   ..4分

（Ⅱ）由已知，得是菱形，.

設，為的中點，則平面，

∴、、交于同一點且兩兩垂直.    5分

以分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示．6分

設，，其中，

則，，，，，

，，    7分

設是平面的一個法向量，

由得令，則，，

，      9分

又是平面的一個法向量，    10分

，  11分

令，則，為銳角，

，則，，

因為函數在上單調遞減，，

所以，  12分

又，  ，

即平面與平面所成角的取值范圍為．  13分

考點：直線與平面垂直、二面角、函數的單調性