定義函數
為
的
階函數.
（1）求一階函數
的單調區間；
（2）討論方程
的解的個數；
（3）求證：
.
（1）當
時,
無單調區間；
當
時,的單增區間為
單減區間為
；
當
時,的單增區間為,單減區間為
；
（2）當
時,方程有兩個不同解.當
時,方程有0個解.當
或時,方程有唯一；
（3）詳見解析.
解析試題分析：(1)求導，對
分情況討論；
(2)研究方程的解的個數，實質就是研究函數的圖象.通過求導，弄清函數的單調區間及函數值的范圍，結合圖象即可知道方程的解的個數.
(3)待證不等式
可變為
，左右對照，考慮證：
再聯系到本題所給函數，可令
，且研究的3階函數，即
.
.由
得
則
在
單調遞增,在
單調遞減.
即
.又
時,
再令
即得證.
試題解析：(1)
,
令
,當
時,
當時,無單調區間；
當時,的單增區間為單減區間為.
當時,的單增區間為,單減區間為.
4分.
(2)由
當時,方程無解.當時,
令
則
由
得
從而
在
單調遞增,在
單調遞減.
當
時,
，當
當
,即時,方程有兩個不同解.
當
,即時,方程有0個解
當
,
或即或時,方程有唯一解.
綜上,當時,方程有兩個不同解.當時,方程有0個解.當或時,方程有唯一解. 9分.
(3)特別地：當時由得.
由得
則在單調遞增,在單調遞減.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某市在市內主干道北京路一側修建圓形休閑廣場．如圖，圓形廣場的圓心為O，半徑為100m，并與北京路一邊所在直線
相切于點M.A為上半圓弧上一點，過點A作的垂線，垂足為B．市園林局計劃在△ABM內進行綠化．設△ABM的面積為S(單位：
)，
(單位：弧度）．
(I)將S表示為
的函數；
(II)當綠化面積S最大時，試確定點A的位置，并求最大面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進行開發建設，陰影部分為一公共設施不能建設開發，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在直線上），公共設施邊界為曲線
的一部分，欄柵與矩形區域的邊界交于點M、N，切曲線于點P，設
．
(I)將
（O為坐標原點）的面積S表示成f的函數S(t)；
(II)若
，S(t)取得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
（1）當
時，求函數
的極值；
（2）若函數在定義域內為增函數，求實數m的取值范圍;
（3）若
，
的三個頂點
在函數的圖象上，且
，
、
、
分別為的內角A、B、C所對的邊。求證：
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．
的單調區間；
,
在區間
恒成立,求a的取值范圍．
（其中
為常數）.
時，求函數
的最值；
（
），其中
．
時，求曲線
在點
處的切線方程；
時，求函數
的極大值和極小值．
，
.
，求證：當
時，
；
在區間
上單調遞增，試求
的取值范圍；
.
時，求函數
的極大值和極小值；
時，
恒成立，求
的取值范圍.