Question

（本題12分）在數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1="4" a_n-3n+1，n∈N^*.
（1）證明數列{a_n-n}是等比數列；（2）求數列{a_n}的前n項和S_n；（3）證明不等式S_n+1≤4S_n，對任意n∈N^*皆成立。

Answer 1

(Ⅰ)見解析   (Ⅱ) S _n= （Ⅲ）見解析

（1）證明：由題設a_n+1="4" a_n-3n+1，得a_n+1 ^_（n+1）="4" (a_n-n), n∈N^*，
又a₁-1=1，所以數列{ a_n-n }是首項為1，且公比為4的等比數列。
（2）由（1）可知a_n - n="4" ^n-1，于是數列{ a_n}的通項公式為a_n=" 4" ^n-1+n，
所以數列{a_n}的前n項和為S _n=。
（3）證明：對任意的n∈N^*，

。
∵對任意n∈N^*，，∴，
所以不等式S_n+1≤4S_n，對任意n∈N^*皆成立。