Question

過點C(0，1)的橢圓的離心率為，橢圓與x軸交于兩點、，過點C的直線與橢圓交于另一點D，并與x軸交于點P，直線AC與直線BD交于點Q．

（I）當直線過橢圓右焦點時，求線段CD的長；
（II）當點P異于點B時，求證：為定值．

Answer 1

（I）    （II）=4

解析試題分析：（Ⅰ）由已知得，解得，所以橢圓方程為．
橢圓的右焦點為，此時直線的方程為 ，代入橢圓方程得，解得，代入直線的方程得 ，所以      
，故．     
（Ⅱ）當直線與軸垂直時與題意不符．
設直線的方程為．代入橢圓方程得．
解得，代入直線的方程得，
所以D點的坐標為．
又直線AC的方程為，又直線BD的方程為，聯立得因此，又．所以．故為定值．  
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題 平面向量數量積的運算 橢圓的簡單性質．
點評：本題主要考察了由橢圓的性質求解橢圓方程，直線與曲線相交的弦長公式的應用及向量的數量積的坐標表示的應用，屬于圓錐曲線問題的綜合應用