Question

設函數(shù)f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx，g(x)=

2e

x

，x∈[2，e]，若p＞1，且對任意x₁∈[2，e]，存在x₂∈[2，e]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，則p的取值范圍為（　　）

• A．(

  2e+4ln2

  3

  ，+∞)
• B．(

  4e

  e2-1

  ，+∞)
• C．(

  4+4ln2

  3

  ，+∞)
• D．(

  4e

  e2-1

  ，

  4+4ln2

  3

  )

Answer 1

分析：若對任意x₁∈[2，e]，存在x₂∈[2，e]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，即當x∈[2，e]，函數(shù)f（x）的最小值大于g（x）的最小值，分別求出兩個函數(shù)的最小值，可得p的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx，
∴f′(x)=p(1+

1

x2

)-

2

x

=

px2-2x+p

x2

∵p＞1，故當x∈[2，e]時，f′（x）＞0恒成立
故當x=2時，函數(shù)f（x）取最小值

3

2

p-2ln2
∵g(x)=

2e

x

，當x∈[2，e]時，函數(shù)為減函數(shù)，故當x=e時，g（x）取最小值2
若對任意x₁∈[2，e]，存在x₂∈[2，e]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，
即當x∈[2，e]，函數(shù)f（x）的最小值大于g（x）的最小值
即

3

2

p-2ln2＞2，解得p＞

4+4ln2

3

故p的取值范圍為(

4+4ln2

3

，+∞)
故選C

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，其中將已知轉化為當x∈[2，e]，函數(shù)f（x）的最小值大于g（x）的最小值，是解答的關鍵．