Question

設函數f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx，g(x)=

2e

x

（p是實數，e是自然對數的底數）
（1）若函數f（x）在定義域內不單調，求實數p的取值范圍；
（2）若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀），求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數，令導函數等于0，在（0，+∞）上有解，分離出p，利用基本不等式求出p的范圍，檢驗p=1是否滿足題意．
（2）將問題轉化為f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，分離出p，構造函數h（x），利用導數求出h（x）的最小值，令p＞h（x）的最小值即得p的范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

px2-2x+p

x2

，
有條件得，f'（x）=0在（0，+∞）上有解
即p=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上有解，∵x＞0，∴x+

1

x

≥2，∴0＜p≤1
若當p=1時，f′(x)=(

1

x

-1)2≥0，不符條件，所以0＜p＜1
（2）有題意得：f（x）＞g（x）在[1，e]上有解
即f(x)-g(x)=p(x-

1

x

)-2lnx-

2e

x

＞0在[1，e]上有解
即p＞

2e x +2lnx

x- 1 x

在[1，e]上有解
記h(x)=

2e x +2lnx

x- 1 x

，只需p＞h（x）_min∵(

2e

x

+2lnx)′=

2x-2e

x2

＜0，所以

2e

x

+2lnx在[1，e]是減函數x-

1

x

在[1，e]是增函數
所以h（x）在[1，e]是減函數p＞h(x)min=

4e

e2-1

點評：解決方程有解問題轉化為求函數的值域；解決不等式有解問題，轉化為求函數的最值．