Question

設滿足以下兩個條件的有窮數列為階“期待數列”：
①；②．
（1）若等比數列為 ()階“期待數列”，求公比；
（2）若一個等差數列既是 ()階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；
（3）記階“期待數列”的前項和為：
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）若存在使，試問數列能否為階“期待數列”？若能，求出所有這樣的數列；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）．（2）．（3）（ⅰ）利用前n項和進行放縮證明．（ⅱ）數列和數列不能為階“期待數列”．

解析試題分析：（1）若，則由①=0，得，
由②得或．
若，由①得，，得，不可能．
綜上所述，．
（2）設等差數列的公差為，>0．
∵，∴，
∴，
∵>0，由得，，
由題中的①、②得，
，
兩式相減得，， ∴，
又，得，
∴．
（3）記，，…，中非負項和為，負項和為，
則，，得，，
（ⅰ），即．
（ⅱ）若存在使，由前面的證明過程知：
，，…，，，，…，，
且…．
記數列的前項和為，
則由（ⅰ）知，，
∴=，而，
∴，從而，，
又…，
則，
∴，
與不能同時成立，
所以，對于有窮數列，若存在使，則數列