已知函數
，如果函數
恰有兩個不同的極值點
，
，且
.
（Ⅰ）證明：
；（Ⅱ）求
的最小值，并指出此時
的值.
（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）最小值為
，此時
.
解析試題分析：（Ⅰ）函數有兩個不同的極值點，等價于
有兩個不等的實數根，即
有兩個不同的零點和，利用導數判斷
的形狀，
，發現函數當
時，
是減函數；當
時，是增函數，故；（Ⅱ）
，又
，故
，是自變量為，定義域的函數，利用導數求其最值，并計算相應的值．
試題解析：（Ⅰ）∵ 函數恰有兩個不同的極值點，，即
有兩個零點，，
∴方程有兩個不同的零點，， 令
，
，當
時，
，
是減函數；當
時，
，是增函數，∴ 在
時取得最小值．
∴ ．
（Ⅱ）∵
，即
，∴，于是
， ∴
，∵，∴
．
∴ 當
時，
，是減函數；當
時，
，是增函數．
∴ 在
上的最小值為，此時.
考點：1、導數在單調性上的應用；2、利用導數求函數的極值和最值.
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，現要在邊長為
的正方形
內建一個交通“環島”.正方形的四個頂點為圓心在四個角分別建半徑為
（
不小于
）的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個半徑為
的圓形草地.為了保證道路暢通，島口寬不小于
，繞島行駛的路寬均不小于
.
（1）求的取值范圍；（運算中
取
）
（2）若中間草地的造價為
元
，四個花壇的造價為
元，其余區域的造價為
元，當取何值時，可使“環島”的整體造價最低？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝
在x＝0，x＝
處存在極值。
（Ⅰ）求實數a,b的值；
（Ⅱ）函數y＝f(x)的圖象上存在兩點A,B使得△AOB是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在y軸上，求實數c的取值范圍；
(Ⅲ）當c＝e時，討論關于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的實根個數。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
，其中
且
．
(Ⅰ) 當
，求函數
的單調遞增區間；
(Ⅱ)若
時，函數
有極值，求函數圖象的對稱中心的坐標；
（Ⅲ）設函數
（
是自然對數的底數），是否存在a使
在
上為減函數，若存在，求實數a的范圍；若不存在，請說明理由．
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．
，求曲線
在點
處的切線方程；
的單調性．
，其中
，曲線
在點
處的切線垂直于
軸.
的值；
的極值.
，其中
為常數．
時，求函數
的單調遞增區間；
，求函數
上是增函數的概率．
為
的
階函數.
的單調區間；
的解的個數；
.
，其中
，曲線
在點
處的切線垂直于
軸.
的值；
的極值.