Question

已知函數f（x）=mx-

m

x

，g（x）=2lnx
（1）當m=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當m=1時，證明方程f（x）=g（x）有且僅有一個實數根；
（3）若x∈（1，e]時，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）m=2時，f(x)=2x-

2

x

，f′(x)=2+

2

x2

，f′(1)=4，
切點坐標為（1，0），
∴切線方程為y=4x-4…（2分）
（2）m=1時，令h(x)=f(x)-g(x)=x-

1

x

-2lnx，
h′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數．…（4分）
又h(e)•h(

1

e

)=-(

1

e

-e+2)2＜0，
∴y=h（x）在（0，+∞）內有且僅有一個零點
∴在（0，+∞）內f（x）=g（x）有且僅有一個實數根…（6分）
（或說明h（1）=0也可以）
（3）mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，則當x∈（1，e]時，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，
令G(x)=

2x+2xlnx

x2-1

，只需m小于G（x）的最小值，
G′(x)=

-2(x2lnx+lnx+2)

(x2-1)2

，
∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴當x∈（1，e]時G'（x）＜0，
∴G（x）在（1，e]上單調遞減，
∴G（x）在（1，e]的最小值為G(e)=

4e

e2-1

，
則m的取值范圍是(-∞，

4e

e2-1

)．…（12分）