Question

一個三角形數表按如下方式構成（如圖：其中項數）：第一行是以4為首項，4為公差的等差數列，從第二行起，每一個數是其肩上兩個數的和，例如：；為數表中第行的第個數．
求第2行和第3行的通項公式和；
證明：數表中除最后2行外每一行的數都依次成等差數列，并求關于（）的表達式；
（3）若，，試求一個等比數列，使得，且對于任意的，均存在實數?，當時，都有．

Answer 1

(1),；（2）證明見解析，；（3）．

試題分析：（1）根據定義，，因此
，；（2）由于第行的數依賴于第的數，因此我們可用數學歸納法證明，設第行的公差為，
，而
，從而，即，于是有，由此可求得；（3）由（2）得，所以，那么可得，
，由于下面要求和，我們把變形為，為了能求和，我們可首先取，這樣可得，，且當時，．因此當時，不等式，必定有解，取其中一個為即可．
試題解析：（1）
． （3分）
（2）由已知，第一行是等差數列，假設第行是以為公差的等差數列，則由
（常數）知第行的數也依次成等差數列，且其公差為.綜上可得，數表中除最后2行以外每一行都成等差數列；   （7分）
由于，所以，所以
，由，
得，            （9分）
于是 ，
即，又因為，所以，數列是以2為首項，1為公差的等差數列， 所以，，所以（）．   （12分）
（3） ，
，
令，      （14分）
．     （15分）
，
，
，
令，則當時，都有，
適合題設的一個等比數列為．           （18分）