Question

已知數列滿足，，，是數列 的前項和．
(1)若數列為等差數列．
（ⅰ）求數列的通項；
（ⅱ）若數列滿足，數列滿足，試比較數列 前項和與前項和的大小；
(2)若對任意，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）（ⅰ）；（ⅱ）詳見解析；（2）．

解析試題分析：（1）（ⅰ）由可得，在遞推關系式中，由可求，進而求出，于是可利用是等差數列求出的值，最后可求出的通項公式，（ⅱ）易知，所以要比較和的大小，只需確定的符號和和1的大小關系問題，前者易知為正，后者作差后判斷符號即可；（2）本題可由遞推關系式通過變形得出，于是可以看出任意，恒成立，須且只需，從而可以求出的取值范圍．
試題解析：(1)（ⅰ）因為，所以，
即，又，所以，           2分
又因為數列成等差數列，所以，即，解得，
所以；             4分
（ⅱ）因為，所以，其前項和，
又因為，              5分
所以其前項和，所以，   7分
當或時，；當或時，；
當時，．                      9分
（2）由知，
兩式作差，得，              10分
所以,
再作差得，                  11分
所以，當時，；
當時，；
當時，；
當時，；  14分
因為對任意，恒成立，所以且，
所以，解得，，故實數的取值范圍為