Question

已知圓A過點，且與圓B：關于直線對稱.
(1)求圓A的方程；
(2)若HE、HF是圓A的兩條切線，E、F是切點，求的最小值。
(3)過平面上一點向圓A和圓B各引一條切線,切點分別為C、D，設，求證：平面上存在一定點M使得Q到M的距離為定值，并求出該定值.

Answer 1

(1) (2) (3)

解析試題分析：(1)求圓的方程即找到圓心和半徑. 由圓的標準方程可看出圓B的圓心, 圓A 與圓B 關于直線對稱可求出圓A的圓心.再由圓A 通過過點通過兩點距離公式求出半徑可求出圓A的標準方程.
(2) 求的最小值最好用一個變量來表示,表示長度和夾角都與長度有關,所以設,則由切割弦定理得,在直角三角形中,則由二倍角公式可得,由數量積公式得,利用均值定理可求出最小值.
(3)切線長用到點距離和半徑表示出來，再根據得到關于一個方程可知軌跡是一個圓，所以存在一個定點到的距離為定值.
試題解析：
（1）設圓A的圓心A（a，b），由題意得：解得,
設圓A的方程為，將點代入得r＝2
∴圓A的方程為：     （4分）
（2）設，，
則

當且僅當即時取等號，∴的最小值為   （9分）
（3）由（1）得圓A的方程為：，圓B：，由題設得，即，
∴化簡得：
∴存在定點M()使得Q到M的距離為定值.   （14分）
考點：直線與圓的位置關系；圓關于點、直線對稱的圓方程；圓的標準方程;平面向量數量積的運算．