Question

已知函數和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、．
（1）求證：為關于的方程的兩根；
（2）設，求函數的表達式；
（3）在（2）的條件下，若在區間內總存在個實數（可以相同），使得不等，則m的最大值，為正整數

Answer 1

，的最大值為. 

解：（1）由題意可知：
∵  ，    
∴切線的方程為：，
又切線過點，有，
即， ① 　
同理，由切線也過點，得．②
由①、②，可得是方程（ * ）的兩根
（2）由（ * ）知.
，
∴ ．
（3）易知在區間上為增函數，
，               
則．
即，即，
所以，由于為正整數，所以.
又當時，存在，滿足條件，
所以的最大值為.