Question

已知函數在處取得極值.
(1)求實數的值；
(2)若關于的方程在區間上恰有兩個不同的實數根,求實數的取值范圍；
(3)證明:對任意的正整數,不等式都成立.

Answer 1

(1) a=1. （2）, (3) 利用導數判斷函數的單調性，然后再利用單調性及數列知識證明即可

解析試題分析：(1)                
時,取得極值,                
故解得經檢驗a=1符合題意. 
（2）由a=1知 由,得 
令則在區間上恰有兩個不同的實數根等價于在區間上恰有兩個不同的實數根.           
當時,,于是在上單調遞增; 
當時,,于是在上單調遞減.
依題意有,
解得,               
(3) 的定義域為,由(1)知,
令得,x=0或(舍去),  當時, ,單調遞增;
當時, ,單調遞減. 為在上的最大值.                        
,故(當且僅當x=0時,等號成立)
對任意正整數n,取得,  
.
故.
考點：本題考查了導數的運用
點評：導數本身是個解決問題的工具，是高考必考內容之一，高考往往結合函數甚至是實際問題考查導數的應用，求單調、最值、完成證明等，請注意歸納常規方法和常見注意點