Question

（2013•香洲區模擬）在銳角△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C，所對的邊，且滿足

3

a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=5，且a＞c，b=

7

，求

AB

•

AC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，根據sinA不為0，可得出sinB的值，由B為銳角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（Ⅱ）由b及cosB的值，利用余弦定理列出關于a與c的關系式，利用完全平方公式變形后，將a+c的值代入，求出ac的值，將a+c=5與ac=6聯立，并根據a大于c，求出a與c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，然后將所求的式子利用平面向量的數量積運算法則化簡后，將b，c及cosA的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）∵

3

a-2bsinA=0，
∴

3

sinA-2sinBsinA=0，…（2分）
∵sinA≠0，∴sinB=

3

2

，…（3分）
又B為銳角，則B=

π

3

；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知B=

π

3

，又b=

7

，
根據余弦定理，得b²=7=a²+c²-2accos

π

3

，…（7分）
整理得：（a+c）²-3ac=7，
∵a+c=5，∴ac=6，
又a＞c，可得a=3，c=2，…（9分）
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

7+4-9

4 7

=

7

14

，…（11分）
則

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=cbcosA=2×

7

×

7

14

=1．…（13分）

點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數量積運算法則，完全平方公式的運用，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及法則是解本題的關鍵．