Question

已知函數，R.
（1）求函數的單調區間；
（2）是否存在實數，使得函數的極值大于？若存在，求的取值范圍；若不存
在，說明理由.

Answer 1

（1）當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間
為；當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間. （2）存在，范圍為

試題分析：（1）函數的定義域為，.  
① 當時，，∵ ∴，∴ 函數單調遞增區間為 
② 當時，令得，即，.
（ⅰ）當，即時，得，故，
∴ 函數的單調遞增區間為.                     
（ⅱ）當，即時，方程的兩個實根分別為，.
若，則，此時，當時，.
∴函數的單調遞增區間為，若，則，此時，當時，，當時， 
∴函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間
為；當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間.
（2）由(1)得當時，函數在上單調遞增，故函數無極值
當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，
∴有極大值，其值為，其中.
∵，即， ∴.
設函數，則，
∴在上為增函數，又，則，
∴.  
即，結合解得，∴實數的取值范圍為.
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的極值，突出分類討論思想與轉化思想的滲透與應用，屬于難題，第二題把有正的極大值的問題轉化為圖象開口向下與X軸有兩個交點，思路巧妙，學習中值得借鑒．