Question

知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）令，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),并比較與的大小.

Answer 1

(1)詳見(jiàn)解析;（2）; 當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.

解析試題分析：（1）先利用與的遞推關(guān)系得到與的遞推關(guān)系式，再通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列，并結(jié)合等比數(shù)列的定義來(lái)證明是等比數(shù)列；（2）先求導(dǎo)得到的表達(dá)式，然后分組求和，一部分是用錯(cuò)位相減法，另一部分是用等差數(shù)列求和公式，最后通過(guò)作差比較與的大小情況.
試題解析：（1）由已知，可得兩式相減得
即從而    4分
當(dāng)時(shí)所以又所以從而
  5分
故總有，又
從而即數(shù)列是等比數(shù)列；  6分
（2）由（1）知,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/dc/0/4ecsa3.png" style="vertical-align:middle;" />所以
從而=
=
令，
錯(cuò)位相減得，
      10分
由上=
=12①
當(dāng)時(shí)，①式=0所以；
當(dāng)時(shí)，①式=12所以
當(dāng)時(shí)，又由函數(shù)可
所以即①從而  14分
考點(diǎn)：1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，2、數(shù)列前項(xiàng)和的求法，3、函數(shù)的求導(dǎo).