Question

某廠家擬在2012年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m萬元（m≥0）滿足
x=3-

k

m+1

（k為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件．已知2012年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（Ⅰ） 將2012年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；
（Ⅱ） 該廠家2012年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

分析：（1）確定產品的年銷售量x萬件與年促銷費用m萬元的函數關系式，根據每件產品的銷售價格，即可得到結論；
（2）利用基本不等式，求最大值即可．

解答：解：（1）由題意可知，當m=0時，x=1，∴1=3-k，即k=2，∴x=3-

2

m+1

，
每件產品的銷售價格為1.5×

8+16x

x

（萬元），
∴利潤函數y=x×1.5×

8+16x

x

-（8+16x+m）=4+8x-m=4+8（3-

2

m+1

）-m=-[

16

m+1

+(m+1)]+29（m≥0），
（2）當m≥0時，

16

m+1

+(m+1)≥2

16 m+1 ×(m+1)

=8
y≤-8+29=21，當且僅當

16

m+1

=m+1，即m=3（萬元）時，y_max=21（萬元）．
所以，該廠家2012年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元．
答：該廠家2012年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大．

點評：本題考查商品利潤函數模型的應用，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．