Question

某廠家擬在2012年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m萬元（m≥0）滿足x=3-

k

m+1

（k為常數）．如果不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件．已知2012年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（I）求k的值，并求年促銷費用為9萬元時，該廠的年產量為多少萬件？
（II）將2012年該產品的利潤y（萬元）表示為年促銷費用m（萬元）的函數；
（Ⅲ）該廠家2012年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（I）利用不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件，可求k的值，從而可求年促銷費用為9萬元時，該廠的年產量；
（II）確定每件產品的銷售價格，結合廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍，即可求得函數解析式；
（Ⅲ）利用基本不等式，即可求得最值．

解答：解：（I）由題意，不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件，知m=0時，x=1（萬件），
所以1=3-k，所以k=2----------------（2分）
從而x=3-

2

m+1

，當m=9萬元時，x=2.8
綜上得，k=2，年促銷費用為9萬元時，該廠的年產量為2.8萬件．-----------------（4分）
（II）由（I1）知，x=3-

2

m+1

，又每件產品的銷售價格為1.5×

8+16x

x

元，
所以2012年的利潤為y=1.5×

8+16x

x

×x-(8+16x+m)=4+8x-m=28-

16

m+1

-m（m≥0）；-----------（9分）
（Ⅲ）由（II）得，y=28-

16

m+1

-m=29-[

16

m+1

+（m+1）]，
∵m≥0時，

16

m+1

+（m+1）≥2

16

=8，∴y≤29-8=21，-------（12分）
當且僅當

16

m+1

=m+1，即m=3（萬元）時取等號，此時，y_max=21（萬元）．
答：該廠家2012年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大值為21萬元．-------（14分）

點評：本題考查根據實際問題選擇函數類型，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是確定函數解析式．