Question

如圖，半徑為30的圓形（為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點(diǎn)在圓弧上，點(diǎn)在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形材料卷成一個(gè)以為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），設(shè)與矩形材料的邊的夾角為，圓柱的體積為.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式？
（2）求圓柱形罐子體積的最大值.

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）利用解直角三角形用將OA，AB表示出來，利用OA是圓柱的底面周長，將圓柱的底面半徑用表示出來，圓柱的高就是AB，再利用圓柱的體積公式求出圓柱的體積即為所求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，注意要標(biāo)明定義域；（2）設(shè)sin=,將圓柱形罐子體積化為關(guān)于的函數(shù)，注意的范圍，求出的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，求出的極值，再求出函數(shù)的最大值就是圓柱形罐子體積的最大值.
試題解析：（1）
（2）令，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即當(dāng)時(shí)，體積取得最大值.
【解法2】：（1）連接，在中，設(shè)，則
設(shè)圓柱底面半徑為，則，即，
，其中.
（2）由，得
由解得；由解得．
因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．
所以當(dāng)時(shí)，有最大值．
考點(diǎn)：1.圓的參數(shù)方程；2.圓柱的體積公式；3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值；4.運(yùn)算求解能力.