Question

設{a_n}是公差大于零的等差數列，已知a₁=2，a₃=a₂-10．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設{b_n}是以函數y=4sin²（πx+

1

2

）-1的最小正周期為首項，以3為公比的等比數列，求數列{a_n-b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）題目給出了等差數列的首項，給出了a₃=a₂-10可求公差，則通項公式可求；
（Ⅱ）把給出的三角函數式化簡后可求其周期，則等比數列的通項公式可求，求數列{a_n-b_n}的前n項和S_n，可先分組，然后運用等差和等比數列的前n項和分別求和，最后合并在一起即可．

解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，則由a₁=2，d=a₃-a₂=-10，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×（-10）=-10n+12；
（Ⅱ）因為y=4sin²（πx+

1

2

）-1=4×

1-cos(2πx+1)

2

-1=-2cos(2πx+1)+1，
其最小正周期為

2π

2π

=1，故數列{b_n}的首項為1，又其公比為3，
所以bn=3n-1，
所以an-bn=-10n+12-3n-1，
故Sn=-10(1+2+3+…+n)-(30+31+32+…+3n-1)+12n=-10×

n(n+1)

2

-

1×(1-3n)

1-3

+12n=-

3n

2

-5n2+7n+

1

2

．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，數列的求和及三角函數周期性的求法，解答此題的關鍵是進行分組，此題考查了學生的計算能力，此題是中檔題．