Question

已知函數 的定義域是 ， 是 的導函數，且 在上恒成立
（Ⅰ）求函數 的單調區間。
（Ⅱ）若函數 ，求實數a的取值范圍
（Ⅲ）設 是 的零點 ， ，求證： ．

Answer 1

（Ⅰ）的單增區間是，無單減區間；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

解析試題分析：（Ⅰ）利用導數的運算法則求出的導數，根據已知條件判斷出在定義上正負，從而求出的單調區間；（Ⅱ）求出的導數，將與代入，將條件具體化，根據在上恒成立，通過參變分離化為在上恒成立，利用導數求出最大值M，從而得出實數a的取值范圍a＞M；
（Ⅲ）由是 的零點知，是 的零點，由（Ⅰ）知 在（0，+）是單調增函數，得出當時，，即，即＜0，在利用的單調性得出，利用不等式性質得出與的關系，即可得出所證不等式．
試題解析：（Ⅰ）
因為在上恒成立
所以在上恒成立
所以的單增區間是，無單減區間              （3分）
（Ⅱ）
因為在上恒成立
所以在上恒成立
即在上恒成立              （4分）
設 則
令得
當時，；當時，
故函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以