Question

已知函數f(x)＝2cos²x―sin(2x―).
（Ⅰ）求函數的最大值，并寫出取最大值時x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若f(A)＝,b＋c＝2，求實數a的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）所以函數的最大值為2，取最大值時的取值集合；（Ⅱ）實數的最小值為1．

解析試題分析：（Ⅰ）求函數的最大值，并寫出取最大值時的取值集合，首先將化為一個角的一個三角函數，因此利用二倍角公式及輔助角公式，化簡函數得，即可求得函數的最大值為2，從而可得取最大值時的取值集合；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，故，可求得角的值為，在中，因為，可考慮利用余弦定理來解，由余弦定理得，，即可求得實數的最小值．
試題解析：（Ⅰ）f(x)=2cos²x-sin(2x-)=(1+cos2x)-(sin2xcos-cos2xsin)
=1+sin2x+cos2x=sin(2x+)+1                     (3分)
所以函數的最大值為2.                                (4分)
此時sin(2x+)=1，即2x+=2kπ+(kz)  解得x=kπ+(kz)
故x的取值集合為{x| x=kπ+，kz}                      (6分)
（Ⅱ）由題意f(A)=sin(2A+)+1=,化簡得sin(2A+)=，
∵A（0，π）,  2A+(,).  A=            (8分)
在三角形ＡＢＣ中，根據余弦定理，
得a²＝b²＋c²－2bc·cos=（b+c)²-3bc                      (10分)
由b+c="2" 知bc()²="1," 即a²1 
當b=c=1時,實數a的最小值為1.                          (12分)
考點：余弦定理的應用；兩角和與差的正弦函數；二倍角的余弦．