設函數
.
（1）當
時，求函數
的最大值；
（2）令
其圖象上任意一點
處切線的斜率
恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）當
，
，方程
有唯一實數解，求正數
的值.
（1）函數的最大值為
；（2）實數的取值范圍是
；（3）
.
解析試題分析：（1）將代入函數的解析式，利用導數求出函數的最大值；（2）先求出函數
的解析式，利用導數將問題轉化為
對任意
恒成立的問題來處理，利用二次函數的最值的求法求
的最大值，從而得到實數的取值范圍；（3）將問題等價轉化為函數
在定義域上只有一個零點來處理，結合導數來研究函數
的單調性，利用極值與最值的關系求出正數的值.
試題解析：（1）依題意，知
的定義域為
，
當時，
，
2分
令，解得
因為
有唯一解，所以
，當
時，
，此時單調遞增；
當
時，
，此時單調遞減。
所以的極大值為
，此即為最大值 4分
（2）
，則有
在
上恒成立，
∴
≥
，
當
時，
取得最大值
，所以≥ 8分
（3）因為方程
有唯一實數解，所以
有唯一實數解，
設
，則
令
，
因為
所以
（舍去），
，
當
時，
，
在
上單調遞減，
當
時，
，在
上單調遞增，
當
時，
，取最小值
. 10分
則
即
所以
因為
所以
12分
設函數
，因為當
時，
是增函數，所以
至多有一解.
∵
，∴方程(*)的解為
，即
，解得
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名題訓練系列答案
期末集結號系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f（x）=alnx+
（a≠0）在（0，
）內有極值．
（I）求實數a的取值范圍；
（II）若x1∈（0，），x2∈（2，+∞）且a∈[，2]時，求證：f（x1）﹣f（x2）≥ln2+
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，其中
，
為參數，且
．
(1)當
時，判斷函數
是否有極值；
(2)要使函數的極小值大于零，求參數的取值范圍；
(3)若對(2)中所求的取值范圍內的任意參數，函數在區間
內都是增函數，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
在點
處的切線方程為
．
⑴求函數
的解析式；
⑵若對于區間
上任意兩個自變量的值
都有
，求實數
的最小值；
⑶若過點
可作曲線
的三條切線，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
，其中
為常數.
（Ⅰ）當函數
的圖象在點
處的切線的斜率為1時，求函數在
上的最小值；
（Ⅱ）若函數在
上既有極大值又有極小值，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，過點
作函數
圖象的切線，試問這樣的切線有幾條？并求這些切線的方程.
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和
是函數
的兩個極值點，其中
，
．
的取值范圍； 
，求
的最大值（e是自然對數的底數）．
時，求f(x)的單調區間；
.
的單調遞增區間;
的方程
在區間
內恰有兩個不同的實根，求實數
的取值范圍.
，其中
為常數，
為自然對數的底數.
的單調區間；
，且
上的最大值為
，求
時，試證明：
.